Question

【題目】如圖，在中，，，點為延長線上一點，連接，過分別作，垂足為，交于點，作，垂足為，交于點．

（1）求證：；

（2）如圖，點在的延長線上，且，連接并延長交于點，求證：；

（3）在（2）的條件下，當時，請直接寫出的值為____________________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）利用AAS證明△APN≌△CPQ，可得AN=CQ；

（2）如圖2，連接BQ，證明△DBQ≌△EAN（SAS），可得DQ=EN；

（3）設AE=2x，AB=3x，則BD=2x，DCx，作輔助線，構建直角三角形和相似三角形，證明△AHE∽△AMD和△DQA∽△ANC，得，設AH=8m，AM=20m，AN=17m，再證明△EHN∽△FMN，即可得出結論．

（1）如圖1．

∵AP⊥BC，AM⊥CD，∴∠APN=∠CPQ=90°，∴∠PNA+∠NAP=∠NAP+∠CQP=90°，∴∠PNA=∠CQP．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AP=PC，∴△APN≌△CPQ（AAS），∴AN=CQ；

（2）如圖2，連接BQ，由（1）知：AP是BC的垂直平分線，∴BQ=CQ．

∵AN=CQ，∴AN=BQ．

∵BQ=QC，∴∠QBC=∠QCB=∠NAP．

∵∠PBA=∠PAB=45°，∴∠QBA=∠BAN，∴∠DBQ=∠NAE．

∵BD=AE，∴△DBQ≌△EAN（SAS），∴DQ=EN；

（3）∵AEAB，即，∴設AE=2x，則AB=3x，BD=2x，DCx，如圖3，過E作EH⊥AM，交MA的延長線于H，∴∠H=∠AMD=90°，∴EH∥DC，∴∠HEA=∠CDA，∴△AHE∽△AMD，∴．

∵∠MAC=∠CDA，∠ACN=∠DAQ=45°，∴△DQA∽△ANC，∴，由（2）知：CQ=AN，∴，∴AN=CQx，S△ADC，AM，∴，∴設AH=8m，AM=20m，AN=17m，則MN=3m．

∵EH∥FM，∴△EHN∽△FMN，∴．

故答案為：．