Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，為原點，拋物線經過三點，且其對稱軸為其中點，點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）①如圖（1），點是直線上方拋物線上的動點，當四邊形的面積取最大值時，求點的坐標；

②如圖（2），連接在拋物線上有一點滿足，請直接寫出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①D，②或

【解析】

（1）根據點，點，利用待定系數法，可得函數解析式；
（2）①先求出直線BC的解析式，當直線m與拋物線只有一個交點時，點D到BC的距離最遠，此時△BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案；
②根據題干條件拋物線上有一點滿足，通過利用待定系數法利用方程組求出直線BE的解析式，可得答案．

解：（1）由題意得：

解得

故拋物線的解析式是.

圖（1） 圖（2）

（2）①設直線BC的解析式為y=kx+.

∵直線BC過點B（3，0），

∴0=3k+

則k=，

故直線BC解析式為y=x+.

設直線m解析式為，且直線m∥直線BC

當直線m與拋物線只有一個交點時，點D到BC的距離最遠，此時△BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值.

令，

當時

直線m與拋物線有唯一交點

解之得：

代入原式可求得：

∴D

圖（3）

過D作DP∥y軸交CB于點P，△DCB面積=△DPC面積+△DPB面積，

∴D

②存在，點M的橫坐標為或

解題提示：如圖3

符合條件的直線有兩條： CM1和CM2（分別在CB的上方和下方）

∵在Rt△ACO中，∠ACO=30°，在Rt△COB中，∠CBO=30°，

∴∠BCM1=∠BCM2=15°

∵△BCE中，∠BCE=∠BEC2=15°

∴BC=BE=

則E（，0）

設直線CE解析式為：

∴

解之得：k=

∴直線CE解析式為：

∴

解得：x1=0，x2=2－1

∵ 在Rt△OCF中，∠CBO=30°，∠BCF=15°

∴在Rt△COF中， ∠CFO=45°

∴OC=OF=

∴F（，0）

∴直線CF的解析式為

∴

解之得：（舍去），

即點M的橫坐標為：或