Question

【題目】如圖，在上依次有三點，的延長線交于過點作交的延長線于連交于點．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接

當 時，點為弧的中點；

若且，則的半徑是 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①72°，②3

【解析】

（1） 先由一組對邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，再結合AB=BC證明是菱形；

（2）由點為弧的中點推出∠AOF=∠EOF= m，設參數表示△OFA各個角，根據三角形內角和列方程計算即可；

由設參數證明△AOF是等邊三角形即可．

（1）證明：∵，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵CD∥AB，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD，

∵BE是⊙O的直徑，

∴，

∴AB＝BC＝CD，

∵CD∥AB，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）①F為弧AE的中點，設∠AOF=∠EOF= m

∴∠ABE=∠ADE=m

∴∠OAF=∠OFA=2m

∵∠AOF+∠OAF+∠OFA=180°

∴2m+2m+m=180°

∴m=36°

∴∠ABE=72°

②∵∠AOF＝3∠FOE，

設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，

∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝2x，

∴∠ABC＝4x，

∵BC∥AD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，

x＝20°，

∴∠AOF＝3x＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴OF＝AF＝3，

圖（1） 圖（2）