Question

【題目】如圖，一次函數y＝x+3的圖象分別與y軸，x軸交于點A，B，點P從點B出發，沿射線BA以每秒1個單位的速度運動，設點P的運動時間為t秒．

（1）點P在運動過程中，若某一時刻，△OPA的面積為3，求此時P的坐標；

（2）在整個運動過程中，當t為何值時，△AOP為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（﹣2，）或（2，）；（2）當t的值為2、8、和時，△AOP為等腰三角形．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求得A、B的坐標，用m表示出點P的坐標，利用面積可求得m的值，進一步求得P點坐標；

（2）可用t表示出BP、AP的長，分AP＝AO、AP＝OP和OP＝AO三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．

（1）當x＝0時，y＝3，

當y＝0時，x＝4，

則A（0，3），B（4，0），

∴AO＝3，BO＝4，

設點P的坐標為（m，m+3），

∵△OPA的面積為3，

∴×3×|m|＝3，

解得：m＝±2，

∴點P的坐標為（﹣2，）或（2，）．

（2）∵AO＝3，BO＝4，

∴AB＝，

由題意可知BP＝t，AP＝5﹣t，

當△AOP為等腰三角形時，有AP＝AO、AP＝OP和AO＝OP三種情況．

①當AP＝AO時，則有5﹣t＝3，解得t＝2；或t﹣5＝3，解得t＝8；

②當AP＝OP時，過P作PM⊥AO，垂足為M，如圖1，

則M為AO中點，故P為AB中點，此時t＝；

③當AO＝OP時，過O作ON⊥AB，垂足為N，過P作PH⊥OB，垂足為H，如圖2，

則NP＝AN＝AP＝（5﹣t），

∵S△AOB＝，

∴ON＝，

∵，

∴，

∴t＝，

綜上可知當t的值為2、8、和時，△AOP為等腰三角形．