Question

【題目】在平面直角坐標系XOY中，直線l1過點A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點B（0，2）且與x軸平行，直線l1與直線l2相交于點P．點E為直線l2上一點，反比例函數 （k＞0）的圖象過點E與直線l1相交于點F．
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；
（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若點E與點P重合，則k=1×2=2
（2）解：當k＞2時，如圖1，

點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，

∵PF⊥PE，

∴S△FPE= PEPF= （ ﹣1）（k﹣2）= k2﹣k+1，

∴四邊形PFGE是矩形，

∴S△PFE=S△GEF，

∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE= k﹣ ﹣（ k2﹣k+1）﹣ = k2﹣1，

∵S△OEF=2S△PEF，

∴ k2﹣1=2（ k2﹣k+1），

解得k=6或k=2，

∵k=2時，E、F重合，

∴k=6，

∴E點坐標為：（3，2）

（3）解：存在點E及y軸上的點M，使得△MEF≌△PEF，

①當k＜2時，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，

∵∠MHF=∠EBM=90°，∠HMF=∠MEB，

∴△FHM∽△MBE，

∴ ，

∵FH=1，EM=PE=1﹣ ，FM=PF=2﹣k，

∴ = ，BM= ，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴（1﹣ ）2=（ ）2+（ ）2，

解得k= ，此時E點坐標為（ ，2），

②當k＞2時，如圖3，

只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得， ，

∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE= ﹣1，

∴ = ，BM=2，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴（k﹣2）2=（ ）2+22，解得k= 或0，但k=0不符合題意，

∴k= ．

此時E點坐標為（ ，2），

∴符合條件的E點坐標為（ ，2）（ ，2）．

【解析】（1）根據反比例函數中k=xy進行解答即可；（2）當k＞2時，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S△FPE= k2﹣k+1，根據S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE即可求出k的值，進而求出E點坐標；（3）①當k＜2時，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2 ， 求出k的值，進而可得出E點坐標； ②當k＞2時，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得， ，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2 ， 求出k的值，進而可得出E點坐標．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．