Question

拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.
(1)求此拋物線的解析式；
(2)拋物線上是否存在點P,使,若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)y=-x²+2x+3；(2) P坐標為（,）、（,）；（,）；
（,）．

解析試題分析：（1）設出拋物線的頂點形式為y=a（x-1）²+4，將A坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）存在，設出P（a，-a²+2a+3），直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標代入求出k與b的值，確定出直線AB解析式，根據三角形ABP面積為三角形ABC面積的一半，由兩三角形都以AB為底邊，得到C到直線AB的距離為P到直線AB距離的2倍，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意P的坐標．
試題解析：（1）設拋物線的頂點形式為y=a（x-1）²+4，
將A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
則拋物線解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）存在這樣的P點，
設P（a，-a²+2a+3），
設直線AB解析式為y=kx+b，
將A（3，0），B（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直線AB解析式為y=-x+3，
∵S_△ABP=S_△ABC，且兩三角形都以AB為底邊，
∴P到直線AB的距離等于C到直線AB距離的，
∵C（1，4）到直線AB的距離d=，
∴P到直線AB的距離d=，
即|-a²+3a|=1，
整理得：a²-3a-1=0或a²-3a+1=0，
解得：a=或a=
當a=時，-a²+2a+3=-；
當a=時，-a²+2a+3=-；
當a=時，-a²+2a+3=-；
當a=時，-a²+2a+3=-.
則滿足題意的P坐標為（,）、（,）；（,）；
（,）．
考點: 1.待定系數法求二次函數解析式；2.二次函數的性質．