Question

已知直線y=x+6交x軸于點A，交y軸于點C，經過A和原點O的拋物線y=ax²+bx(a＜0）的頂點B在直線AC上.

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）以B點為圓心，以AB為半徑作⊙B，將⊙B沿x軸翻折得到⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關系，并說明理由；
（3）若E為⊙B優弧上一動點,連結AE、OE，問在拋物線上是否存在一點M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，試求出點M的坐標；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）該拋物線的函數關系式為y=﹣x²﹣2x；
（2）相切，理由見解析；
（3）存在這樣的點M ，M的坐標為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．

解析試題分析：（1）根據過A、C兩點的直線的解析式即可求出A，C的坐標，根據A，O的坐標即可得出拋物線的對稱軸的解析式，然后將A點坐標代入拋物線中，聯立上述兩式即可求出拋物線的解析式．
（2）直線與圓的位置關系無非是相切與否，可連接AD，證AD是否與AC垂直即可．由于B，D關于x軸對稱，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC與圓D相切．
（3）根據圓周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M點的縱坐標的絕對值和橫坐標的絕對值的比為tan30°，由此可得出x，y的比例關系式，然后聯立拋物線的解析式即可求出M點的坐標．（要注意的是本題要分點M在x軸上方還是下方兩種情況進行求解）．
試題解析：（1）根據題意知：A（﹣6，0），C（0，6）
∵拋物線y=ax²+bx（a＜0）經過A（﹣6，0），0（0，0）．
∴對稱軸x==﹣3，b=6a…①
當x=﹣3時，代入y=x+6得y=﹣3+6=3，
∴B點坐標為（﹣3，3）．
∵點B在拋物線y=ax²+bx上，
∴3=9a﹣3b…②
結合①②解得a=﹣，b=﹣2，
∴該拋物線的函數關系式為y=﹣x²﹣2x；
（2）相切
理由：連接AD，
∵AO=OC
∴∠ACO=∠CAO=45°
∵⊙B與⊙D關于x軸對稱
∴∠BAO=∠DAO=45°
∴∠BAD=90°
又∵AD是⊙D的半徑，
∴AC與⊙D相切．
∵拋物線的函數關系式為y=﹣x²﹣2x，
∴函數頂點坐標為（﹣3，3），
由于D、B關于x軸對稱，
則BD=3×2=6；
（3）存在這樣的點M．
設M點的坐標為（x，y）
∵∠AEO=∠ACO=45°
而∠MOA：∠AEO=2：3
∴∠MOA=30°
當點M在x軸上方時，=tan30°=，
∴y=﹣x．
∵點M在拋物線y=﹣x²﹣2x上，
∴﹣x=﹣x²﹣2x，
解得x=﹣6+，x=0（不合題意，舍去）
∴M（﹣6+，﹣1+2）．
當點M在x軸下方時，=tan30°=，
∴y=x，
∵點M在拋物線y=﹣x²﹣2x上．
∴x=﹣x²﹣2x，
解得x=﹣6﹣，x=0（不合題意，舍去）．
∴M（﹣6﹣，﹣1﹣2），
∴M的坐標為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．
．
考點：二次函數綜合題．