Question

【題目】已知，AB∥CD，點E為射線FG上一點．
（1）如圖1，直接寫出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數量關系；
（2）如圖2，當點E在FG延長線上時，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點I，交AE于點K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AED=∠EAF+∠EDG．

理由：如圖1，過E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，

∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；

（2）解：證明：如圖2，設CD與AE交于點H，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHG，

∵∠EHG是△DEH的外角，

∴∠EHG=∠AED+∠EDG，

∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）解：）∵AI平分∠BAE，

∴可設∠EAI=∠BAI=α，則∠BAE=2α，

∵AB∥CD，

∴∠CHE=∠BAE=2α，

∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，

∴∠EDI=α+30°﹣20°=α+10°，

又∵∠EDI：∠CDI=2：1，

∴∠CDI= ∠EDK= α+5°，

∵∠CHE是△DEH的外角，

∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，

即2α= α+5°+α+10°+20°，

解得α=70°，

∴∠EDK=70°+10°=80°，

∴△DEK中，∠EKD=180°﹣80°﹣20°=80°．

【解析】（1）過E作EH∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）設CD與AE交于點H，根據∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，進而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）設∠EAI=∠BAI=α，則∠CHE=∠BAE=2α，進而得出∠EDI=α+10°，∠CDI= α+5°，再根據∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α= α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根據三角形內角和定理，得到∠EKD的度數．
【考點精析】關于本題考查的平行線的性質和三角形的內角和外角，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能得出正確答案．