Question

【題目】二次函數y=ax2＋bx＋c圖象的一部分如圖所示．已知它的頂點M在第二象限，且經過點A(1，0)和點B(0，l)．若此二次函數的圖象與x軸的另一個交點為C.

（1）試求a，b所滿足的關系式；

（2）當△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值；

（3）是否存在實數a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【答案】 （1）a＋b=－1；（2）a=－4＋；（3）不存在.

【解析】

（1）把點A（1，0）和點B（0，1）的坐標代入拋物線的解析式，就可以得到關于a，b，c關系式．整理就得到a，b的關系．
（2）利用公式求出拋物線的頂點的縱坐標，進而表示出△AMC的面積，根據就可以得到關于a的方程，解得a的值；
（3）本題應分A是直角頂點，B是直角頂點，C是直角頂點三種情況進行討論．

（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax2＋bx＋c得：

，可得：a＋b=－1

（2）(2)∵a+b=1，

∴b=a1代入函數的解析式得到：y=ax2(a+1)x+1，

頂點M的縱坐標為 ，

因為

由同底可知：＝

整理得：a2＋8a＋1=0，得：a=－4±

由圖象可知：a<0，因為拋物線過點（0，1），頂點M在第二象限，其對稱軸x=,

∴-1<a<0,

∴a=－4－舍去，從而a=－4＋

（3）① 由圖可知，A為直角頂點不可能；

② 若C為直角頂點，此時與原點O重合，不合題意；

③ 若設B為直角頂點，則可知，得：

令，可得：，，

得：，

∴

解得：a=-1，由－1＜a＜0，不合題意．所以不存在

綜上所述：不存在.