Question

【題目】我們知道平行四邊形有很多性質，現在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現這其中還有更多的結論．

（發現結論）

（1）如圖，在□ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結B′D，發現兩個有趣的結論：①△EAC是等腰三角形 ②AC//B′D 請你選擇其中一個結論加以證明

（結論運用）

（2）在□ABCD中，已知：BC=2，∠B=60°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結B′D（如上圖）．若四邊形ACDB′是矩形，求AC的長．

（方法拓展）

（3）若 =k，且以A、C、D、B′為頂點的四邊形為正方形，則k的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）k的值為1或.

【解析】

（1）①由平行四邊形的性質得出∠EAC＝∠ACB，由翻折的性質得出∠ACB＝∠ACB′，證出∠EAC＝∠ACB′，得出AE＝CE即可；②同①證明AE＝CE，然后求出DE＝B′E，證出∠CB′D＝∠B′DA，由∠AEC＝∠B′ED，得出∠ACB′＝∠CB′D，即可得出AC//B′D；

（2）由矩形的性質可得∠BAC＝90°，然后利用含30°直角三角形的性質和勾股定理求解即可；

（3）分兩種情況討論，分別作出圖形，根據等腰直角三角形的性質求解即可.

解：（1）選結論①，

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折的性質得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，

∴∠EAC＝∠ACB′，

∴AE＝CE，即△ACE是等腰三角形；

選結論②，

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折的性質得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，

∴∠EAC＝∠ACB′，

∴AE＝CE，

∴DE＝B′E，

∴∠CB′D＝∠B′DA，

∵∠AEC＝∠B′ED，

∴∠ACB′＝∠CB′D，

∴AC//B′D；

（2）如圖1所示：

∵四邊形ACDB′是矩形，

∴∠CAB′＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝60°，BC=2，

∴AB＝1，

∴；

（3）分兩種情況：

①如圖2所示，

∵四邊形ACDB′是正方形，

∴AB′＝AC，

∵AB′＝AB，

∴AB＝AC，即；

②如圖3所示，

∵四邊形ACB′D是正方形，

∴∠AB′B＝45°，∠ACB′＝90°，

∵AB′＝AB，

∴∠B＝45°，∠ACB＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴，

綜上所述，k的值為1或.