Question

【題目】如圖，△ABE是⊙O的內接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AE的延長線交于點C，D是BC的中點，連接DE，連接CO，線段CO的延長線交⊙O于F，FG⊥AB于G．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=4，BE=2，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AG= ﹣．

【解析】試題分析：（1）連接OE，OD，根據全等三角形的性質得到∠OED=∠OBD，由BC是⊙O的切線，得到∠OBD=90°，于是得到結論；

（2）由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據勾股定理得到AB==2 ，求得OF=OB=根據相似三角形的性質得到BC= =，根據勾股定理到OC===，根據相似三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）連接OE，OD，

在△OED與△OBD中， ，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠OBD，

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBD=90°，∴∠OED=90°，∴OE⊥ED，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴AB==2，∴OF=OB=，

∵△AEB∽△BEC，∴ ，∴BC= =，∴OC===，

∵∠AOF=∠BOC，∵FG⊥AB，∴∠FGO=90°，∴∠FGO=∠OBC=90°，

∴△OFG∽△OBC，∴ ，∴OG=﹒OB= ，

∴AG=AO﹣OG=﹣．