Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且BC是⊙O的直徑，AD⊥BC于D，F是弧BC中點，且AF交BC于E，連接OA，

（1）求證：AE平分∠DAO；

（2）若AB=6，AC=8，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OE=.

【解析】試題分析：（1）連接OA，由BC是 O的直徑，AD⊥BC，易得∠C=∠OAE=∠B，又由F是弧BC中點，可得∠BAF=∠CAF，繼而證得AE平分∠DAO；

（2）首先連接OF，易得OF∥AD，即可得DE：OE=AD：OF，然后由勾股定理求得AD，BD的長，繼而求得答案．

試題解析：

（1）證明：連接OA，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠C+∠B=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C，

∴∠BAD=∠OAC，

∵F是弧BC中點，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠DAE=∠OAE，

即AE平分∠DAO；

（2）解：連接OF，

∵∠BOF=2∠BAF=∠BAC=90°，

∴OF⊥BC，

∵AD⊥BC，

∴OF∥AD，

∴DE：OE=AD：OF，

∵AB=6，AC=8，

∴BC=AB2+AC2=10，

∴AD=ABAC

BC=4.8，

∴BD=AB2AD2=3.6，

∴OD=OB-BD=5-3.6=1.4，

∴DE：OE=4.8：5=24：25，

∴OE=.