Question

【題目】工人師傅用一塊長為2m，寬為1.2m的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計）

（1）若長方體底面面積為1.28m2，求裁掉的正方形邊長；

（2）若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的3倍，并將容器進行防銹處理，側面每平方米的費用為50元，底面每平方米的費用為200元，裁掉的正方形邊長多大時，總費用最低，最低為多少？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形邊長為0.2m；（2）裁掉的正方形邊長為0.4m時，總費用最低，最低為160元．

【解析】

（1）設裁掉的正方形的邊長為xm，根據底面矩形的面積公式列出一元二次方程，解之可得；

（2）先根據長不大于寬的3倍得出x的取值范圍，再根據總費用=側面的總費用+底面的總費用列出函數解析式，配方成頂點式，利用二次函數的性質求解可得．

（1）設裁掉的正方形的邊長為xm，

根據題意，得：（2﹣2x）（1.2﹣2x）=1.28，

解得：x1=0.2或x2=1.4（舍），

所以裁掉的正方形邊長為0.2m；

（2）∵長不大于寬的3倍，

∴2﹣2x≤3（1.2﹣2x），

解得：0＜x≤0.4，

設總費用為w，

根據題意，得：w=50×2x（3.2﹣4x）+200×（2﹣2x）（1.2﹣2x）

=400x2﹣960x+480

=400（x﹣1.2）2﹣96，

∵對稱軸x=1.2且開口向上，

∴當0＜x≤0.4時，w隨x的增大而減小，

∴當x=0.4時，w取得最小值，最小值為160元，

答：裁掉的正方形邊長為0.4m時，總費用最低，最低為160元．