【題目】已知關于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．
(1)如果x＝－1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由見解析；（2）△ABC是直角三角形.理由見解析.
【解析】
試題（1）由方程解的定義把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判別式的意義得到△=0，整理得
，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
試題解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有兩個相等的實數根，∴△=
，∴
，∴，∴△ABC是直角三角形．
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【題目】閱讀材料：各類方程的解法
求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想轉化，把未知轉化為已知．
用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通過因式分解把它轉化為x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）問題：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；
（2）拓展：用“轉化”思想求方程
=x的解；
（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．
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【題目】如圖，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s．當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數．
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【題目】如圖，拋物線
的對稱軸為
，與
軸的一個交點在
和
之間，其部分圖象如圖所示，則下列結論：
；
；
點
、
、
是該拋物線上的點，則
；
；
（
為任意實數）．
其中正確結論的個數是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】某活動小組為了估計裝有
個白球和若干個紅球（每個球除顏色外都相同）的袋中紅球接近多少個，在不將袋中球倒出來的情況下，分小組進行摸球試驗，兩人一組，共
組進行摸球實驗．其中一位學生摸球，另一位學生記錄所摸球的顏色，并將球放回袋中搖勻，每一組做
次試驗，匯總起來后，摸到紅球次數為
次．
估計從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率是多少？
請你估計袋中紅球接近多少個？
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【題目】如圖，已知點A、B以及直線l，AE⊥l，垂足為點E．
（1）過點B作BF⊥l，垂足為點F；
（2）在直線l上求作一點C，使CA＝CB；
（要求：第（1）、（2）小題用尺規作圖，并在圖中標明相應字母，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（3）在所作的圖中，連接CA、CB，若∠ACB＝90°，求證：△AEC≌△CFB．
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【題目】如圖，已知：在△ABC和△AEF中，點E在BC邊上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF與AC交于點G．
（1）求證：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°．∠ACB＝28°，求∠FGC的度數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時,則∠MPN的度數為（ ）
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△OAC中，以O為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長．
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