Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4cm，OC=3cm，D為OA上一動點，點D以1cm/s的速度從O點出發向A點運動，E為AB上一動點，點E以1cm/s的速度從A點出發向點B運動．
（1）試寫出多邊形ODEBC的面積S（cm²）與運動時間t（s）之間的函數關系式；
（2）在（1）的條件下，當多邊形ODEBC的面積最小時，在坐標軸上是否存在點P，使得△PDE為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在某一時刻將△BED沿著BD翻折，使得點E恰好落在BC邊的點F處．求出此時時間t的值．若此時在x軸上存在一點M，在y軸上存在一點N，使得四邊形MNFE的周長最小，試求出此時點M，點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）設OD=t，AD=4-t，AE=t，由S_△DEBC=S_△ABCD-S_△DAE，列出關于t的函數，
（2）由（1）的一元二次方程求出最小值，分類P在x軸上時、在y軸上時求出滿足條件的點，
（3）設AE=t，則BE=3-t．BF=BE=3-tAD=4-t，求出CF，然后求出t，解得M、N的坐標．

解答：解：（1）設OD=t，AD=4-t，AE=t，
S_△ODEBC=S_△ABCD-S_△DAE
=4×3-

1

2

AD•AE
=12-

1

2

(4-t)t
=

1

2

t2-2t+12（0≤t≤3）

（2）∵S=

1

2

t2-2t+12
∴-

b

2a

=

-2

1

=2
∴當t=2時，S有最小值；
此時：D（2，0）、E（4，2），
①當P在x軸上時，設P（a，0），
此時：DE²=AD²+EA²=2²+2²=8，
EP²=（a-4）²+2²=a²-8a+20，
DP²=（a-2）²=a²-4a+4，
∴當DE²=EP²時，8=a²-8a+20，
∴a²-8a+12=0，
（a-2）（a-6）=0，
∴P（2，0），P₁（6，0），
∵P（2，0）與D重合
∴舍去，
當EP²=DP²時，a²-8a+20=a²-4a+4，
16=4a，
a=4，
∴P₂（4，0），
當DE²=DP²時，8=a²-4a+4a²-4a-4=0
a=

4±4 2

2

=2±2

2

，
∴P3(2+2

2

，0)P4(2-2

2

，0)，
②當P在y軸上時，設P（0，b），
則DP²=2²+b²=b²+4EP²=4²+（b-2）²=16+b²-4b+4=b²-4b+20
DE²=8，
∴當DP²=EP²時，b²+4=b²-4b+20
4b=16，
b=4，
∴P₅（0，4），
當EP²=DE²時，b²-4b+20=8b²-4b+12=0b²-4ac＜0，
∴無解．
當DP²=DE²時，b²+4=8，
b²=4，
∴b=±2，
∴P₆（0，-2）（DEP三點共線，舍去），
∴綜上共有6個這樣的P點，
使得△PDE為等腰三角形．
即P₁（6，0），P₂（4，0），P3(2+2

2

，0)，P4(2-2

2

，0)，P₅（0，4），P₆（0，2）．

（3）設AE=t，則BE=3-t．BF=BE=3-t，AD=4-t，
∴CF=4-BF=t+1，
過D作DP⊥BC于P．
則：CP=OD=t，
∴PF=1，
又DP=3，
∴DF=

10

，
∴DE=DF=

10

，
∴在Rt△DAE中，AD²+AE²=DE²，
∴（4-t）²+t²=10，
∴t²-8t+16+t²=10，
2t²-8t+6=0，
t²-4t+3=0，
∴t₁=1，t₂=3（舍），
∴t=1（9分），
∴E（4，1），F（2，3），
∵E關于x軸的對稱點E′（4，-1），F關于y軸的對稱點F′（-2，3），
則E′F′與x軸，y軸的交點即為M點，N點．
設直線E′F′的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4k+b=-1 -2k+b=3

，
∴

k=- 2 3 b= 5 3

，
∴y=-

2

3

x+

5

3

．（10分）
∴M（

5

2

，0），N（0，

5

3

）．（12分）

點評：考查二次函數求最大（小）值的方法，綜合面積的計算、勾股定理等內容，滲透分類討論思想，綜合性很強．