Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=6，OC=4，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處．
（1）試判斷四邊形ABED的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)為E的拋物線的右側(cè)部分交x軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）∠BAE=90°，由折疊的性質(zhì)可知∠ABD=∠EBD，得∠ABD=∠EBD=45°，可判斷四邊形ABED為正方形；
（2）連接EF，EO，通過計(jì)算可證△BEF≌△DEO，得出EF=EO，EF⊥EO，根據(jù)EF為腰和底兩種情況，求拋物線解析式．

解答：解：（1）四邊形ABED為正方形．
理由：由折疊的性質(zhì)可知∠ABD=∠EBD，BA=BE，
又∵∠ABE=90°，
∴∠ABD=∠EBD=∠ADB=∠ABD=45°，
∴四邊形ABED為正方形；

（2）連接EF，EO，依題意得頂點(diǎn)E（-4，2），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）²+2，
∵DO=AO-AD=OA-OC=2，BF=

1

2

AB=2，BE=DE，
∴△BEF≌△DEO，
∴EF=EO，EF⊥EO，
當(dāng)EF為腰時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，將P（0，0）代入y=a（x+4）²+2中，得a=-

1

8

，
∴y=-

1

8

（x+4）²+2，
當(dāng)EF為底時(shí)，點(diǎn)P在EF的中垂線上，
∵E（-4，2），
∴直線OE解析式為y=-

1

2

x，
又∵EF⊥EO，線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4），
∴EF的中垂線解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，EF的中垂線與x軸交點(diǎn)P（5，0）
將P（5，0）代入y=a（x+4）²+2中，得a=-

2

81

，
∴y=-

2

81

（x+4）²+2，
∴拋物線解析式為y=-

1

8

（x+4）²+2或y=-

2

81

（x+4）²+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)判斷正方形，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)EF為腰和底，分類求解．