Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（Ⅰ）直接寫出點E、F的坐標；
（Ⅱ）若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，當四邊形MNFE的周長最小時，求出點M、N的坐標，并求出周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（Ⅱ）作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答：（本小題10分）
解：（Ⅰ）E（3，1）；F（1，2）．（2分）
（Ⅱ）如圖，作點E關于x軸的對稱點E′，
作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別
與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，
此時四邊形MNFE的周長最小．（4分）
∴E′（3，-1），F′（-1，2），
設直線E′F′的解析式為y=kx+b，
有

3k+b=-1 -k+b=2.

解這個方程組，得

k=- 3 4 b= 5 4 .

∴直線E′F′的解析式為y=-

3

4

x+

5

4

．
當y=0時，x=

5

3

，
∴M點的坐標為（

5

3

，0）．
當x=0時，y=

5

4

，
∴N點的坐標為（0，

5

4

）．（7分）
∵E與E′關于x軸對稱，F與F′關于y軸對稱，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F′E′=

F′B2+E′B2

=

42+32

=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

．
∴FN+NM+ME+EF=5+

5

，
即四邊形MNFE的周長最小值是5+

5

．（10分）

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題．