Question

【題目】（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC邊上的點，CE與BF交于點G，BF⊥CE，求證：BF＝CE；

（2）如圖2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分別是AD、DC邊上的點，CE與BF交于點G，∠A+∠BGE＝180°，求證：CE＝2BF；

（3）如圖3，若（2）中的四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A＜90°，則CE＝2BF是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，證明見解析.

【解析】

（1）只要證明△CDE≌△BCF，即可解決問題；

（2）先根據∠CFG+∠DCE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，判斷出∠CFB＝∠DEC，進而得出△CDE∽△BCF，即可得出結論；

（3）先判斷出∠BFC＝∠BCG，進而得出△BCG∽△BFC，即，再判斷出△CFG∽△CED，得出，即可得出結論；

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD＝BC，∠D＝∠BCF＝90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BGC＝90°，

∴∠CBF+∠BCG＝90°，∠BCG+∠DCE＝90°，

∴∠DCE＝∠CBF，

∴△CDE≌△BCF，

∴BF＝CE

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB，BC＝AD，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，

∵AB＝2AD，

∴CD＝2BC，

∵∠A+∠BGE＝180°，

∴∠CGF＝∠BGE＝90°＝∠D，

∴∠CFG+∠DCE＝90°，

∵∠CED+∠DCE＝90°，

∴∠CFB＝∠DEC，

∵∠D＝∠BCF，

∴△CDE∽△BCF，

∴＝2，

∴CE＝2BF；

（3）如圖3中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠BCD，CD＝AB，BC＝AD，

∵AB＝2AD，

∴CD＝2BC，

∵∠A+∠BGE＝180°，∠BGE+∠BGC＝180°，

∴∠BGC＝∠A＝∠BCD，

∵∠BGC＝∠BFC+∠FCG，∠BCD＝∠BCG+∠FCG，

∴∠BFC＝∠BCG，

∵∠CBF＝∠FBC，

∴△BCG∽△BFC，

∴，

∵∠A+∠D＝180°，∠A+∠CGF＝180°，

∴∠D＝∠CGF，

∵∠FCG＝∠ECD，

∴△CFG∽△CED，

∴，

∴，

∴，

∵CD＝2BC，

∴CE＝2BF.