Question

【題目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P 是平面內不與點A，C 重合的任意一點，連接AP，將線段AP 繞點P 逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

（1）猜想觀察：如圖1，當α＝60°時，的值是________，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是________．

（2）類比探究：如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題：如圖3，當α＝90°時，若點 E，F 分別是 CA，CB 的中點，點 P 在FE的延長線上，P，D，C三點在同一直線上，AC與BD相交于點M，DM＝2－，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）1，60°；（2），45°，見解析；（3）1

【解析】

（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題；

（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題．

（3）首先證明AD＝DC，再設AP＝x得PD＝x，在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝，BD＝ (2＋)x．，證明△ADM∽△BDA，得AD2＝DM·BD，列方程求解即可．

（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．

∵∠PAD=∠CAB=60°，

∴∠CAP=∠BAD，

∵CA=BA，PA=DA，

∴△CAP≌△BAD（SAS），

∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，

∵∠AOC=∠BOE，

∴∠BEO=∠CAO=60°，

∴，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是60°，

故答案為1，60°．

(2)如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．

∵∠PAD=∠CAB=45°，

∴∠PAC=∠DAB，

∵∠APD=∠ACB=90°，AP=PD，CA=CB

∴，

∴，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA=∠DBA，，

∵∠BOC＝∠BEC＋∠PCA＝∠ABD＋∠BAC，∠PCA＝∠DBA，

∴∠BEC＝∠BAC＝45°，即直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數為45°．

(3)∵點 E，F 分別是 CA，CB 的中點，

∴EF∥AB，AE＝EC，

∴∠PEA＝∠BAC＝45°．

∵P，D，C三點在同一直線上，∠APD＝90°，

∴∠APC＝90°，PE＝AE＝EC，

∴∠EPC＝∠ECP

∵∠EPC＋∠ECP＝∠PEA＝45°，∠DAC＋∠ECP＝∠PDA＝45°，

∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，

∴AD＝DC．

設AP＝x，則PD＝x，

在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝，

∴PC＝PD＋CD＝(＋1)x．由(2)知，

∴BD＝PC＝(2＋)x．

∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，

∴∠DAC＝∠DBA，

又∵∠ADM＝∠BDA，

∴△ADM∽△BDA，

∴，即AD2＝DM·BD，

∴(x)2＝(2－)(2＋)x．解得x1＝1，x2＝0(不合題意，舍去)，

∴AP＝1．