Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，已知點A（0, 3）、點C（1, 0），等腰Rt△ACB的頂點B在拋物線上.

（1）求點B的坐標及拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊的Rt△？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）在拋物線上是否存在點Q（點B除外），使△ACQ是以AC為直角邊的等腰Rt△？若存在直接寫出所有點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）P2（、 P3（ （3）不存在.

【解析】試題分析：（1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標；（2）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；（3）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．

試題解析:

（1）過B作BD⊥x軸，則△AOC≌△CDB，

∴B（4，1）

將B（4，1）代入 得：

（2）以C為直角頂點時P是BC與的交點,

BC的解析式為; 解得P1（－1，－ ）（其中點B舍去）

以A為直角頂點時，過A的直線平行于BC，∴易得解析式為, 與拋物線交點：

P2（ 、 P3（

（3）不存在

理由：以C為直角頂點時，點B關于AC的對稱點B/(―2,―1)不滿足拋物線解析式

以A為直角頂點時，令AQ1＝AC，求得Q1(―3，2) 不滿足拋物線解析式

同理，當AQ2＝AC時，求得Q2（3，4）不滿足拋物線解析式