Question

【題目】如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，點D是弧BC的中點，連結CD、AD、OD，給出以下四個結論：①∠DOB＝∠ADC；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB．其中正確結論的序號是（ ）

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①④

Answer 1

【答案】D

【解析】AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠DOB=∠CAO，
又∵∠CAO=∠ADC（都對著半圓弧），
∴∠DOB=∠ADC故①正確；
②由題意得，OD=R，AC=R，
∵OE：CE=OD：AC=1: ，
∴OE≠CE，故②錯誤；
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=12×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，

∴CD2=ODCE=ABCE，
∴2CD2=CEAB．
∴④正確．
故選D．