Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作半圓⊙O與邊BC交于點D，過D作半圓的切線與邊AC交于點E，過E作EF∥AB，與BC交于點F．若AB＝20，OF＝7.5，則CD的長為（　　）

A.7B.8C.9D.10

Answer 1

【答案】C

【解析】

連結AD，先證明E是AC的中點，可知EF、OF是△ABC的中位線，于是可求出AC及BC的長，再證明△CDA∽△CAB,根據相似的性質即可求出CD的長.

解：連結AD，如圖，

∵∠BAC＝90°，AB為直徑，

∴AC是⊙O的切線，

∵DE為⊙O的切線，

∴ED＝EA，

∴∠ADE＝∠2，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，

∴∠1＝∠C，

∴ED＝EC，

∴CE＝AE，

∵EF∥AB，

∴EF為△ABC的中位線，

∴BF＝CF，

而BO＝AO，

∴OF為△ABC的中位線，

∴OF∥AE，

∴AE＝OF＝7.5，

∴AC＝2AE＝15，

在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，

∵∠DCA＝∠ACB，

∴△CDA∽△CAB，

∴＝，即＝，

∴CD＝9．

故選：C．