Question

【題目】在中，，，以為邊在的另一側作，點為射線上任意一點，在射線上截取，連接．

（1）如圖1，當點落在線段的延長線上時，直接寫出的度數；

（2）如圖2，當點落在線段（不含邊界）上時，與于點，請問（1）中的結論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝30°，理由詳見解析；（2）（1）中的結論成立，證明詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用SAS定理證明△ABD≌△ACE，根據相似三角形的性質得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算即可證明；

（2）同（1）的證明方法相同；

（3）證明△ADF∽△ACD，根據相似三角形的性質得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．

解：（1）∠ADE＝30．

理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120，∴∠ABC＝∠ACB＝30，

∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAC＝120，

∴∠ADE＝30；

（2）（1）中的結論成立，

證明：∵∠BAC＝120，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝30．

∵∠ACM＝∠ACB，

∴∠B＝∠ACM＝30．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120．即∠DAE＝120．

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝30；

（3）∵AB＝AC，AB＝6，

∴AC＝6，

∵∠ADE＝∠ACB＝30且∠DAF＝∠CAD，

∴△ADF∽△ACD．

∴．

∴AD2＝AFAC．

∴AD2＝6AF．

∴．

∴當AD最短時，AF最短、CF最長．

當AD⊥BC時，AD最短，故AF最短、CF最長，此時．

∴．

∴．