Question

【題目】如圖，AD是∠BAC的平分線，DE平行AB交AC于點E，DF平行AC交AB于點F，延長FE交BC的延長線于點G．

求證：

（1）AG＝DG；

（2）∠GAC＝∠B．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）由DE∥AB，DF∥AC，可證得四邊形AEDF是平行四邊形，∠DAF＝∠ADE，又由AD是∠BAC的平分線，可證得AE＝DE，即可證得四邊形AEDF是菱形，則可得EF是AD的垂直平分線，繼而證得結論；

（2）由AG＝DG，AE＝DE，可得∠GAD＝∠GDA，∠EAD＝∠EDA，繼而證得∠GAC＝∠GDE，又由DE∥AB，可得∠GDC＝∠B，繼而證得結論．

證明：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠DAF＝∠ADE，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAF＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴四邊形AEDF是菱形，

∴EF是AD的垂直平分線，

∵延長FE交BC的延長線于點G，

∴AG＝DG；

（2）∵AG＝DG，AE＝DE，

∴∠GAD＝∠GDA，∠EAD＝∠EDA，

∵∠GAC＝∠GAD﹣∠EAD，∠GDE＝∠GDA﹣∠EDA，

∴∠GAC＝∠GDE，

∵DE∥AB，

∴∠GDE＝∠B，

∴∠GAC＝∠B．