【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的兩個根是2和4，則方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，則c= ；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關系．
【答案】（1）2；（2）4m2﹣5mn+n2=0；（3）a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.7．
【解析】【試題分析】（1）根據倍根方程的定義，利用根與系數的關系，得x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，求出c=2；
（2）
根據倍根方程的定義， 
，進行分類討論，當x2=1時， 
，即m=n，代入代數式4m2﹣5mn+n2=0；當x2=4時， 
，即n=4m，代入代數式4m2﹣5mn+n2=0．
（3）根據倍根方程的定義，引入參數t, a（x﹣t）（x﹣2t）=0然后對應ax2+bx+c=0，則
b=-3at, 
,然后消去參數t,即a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.
【試題解析】
（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，
∵x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，
∴c=2，
故答案為：2；
（2）解方程（x﹣2）（mx+n）=0（m≠0）得，x1=2， 
．
∵方程兩根是2倍關系，
∴x2=1，
當x2=1時， 
，即m=n，
代入代數式4m2﹣5mn+n2=0，
當x2=4時， 
，即n=4m，
代入代數式4m2﹣5mn+n2=0．
綜上所述，4m2﹣5mn+n2=0；
（3）根據“倍根方程”的概念設一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為t和2t．
∴原方程可以改寫為a（x﹣t）（x﹣2t）=0，
∴ax2+bx+c=ax2﹣3atx+2at2，
∴
．
解得2b2﹣9ac=0．
∴a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.
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【題目】在平面直角坐標系中，第四象限內有一點P，且P點到x軸距離是4，到y軸的距離是5，則點P點坐標為( )
A. (4，5)B. (4，﹣5)C. (5，4)D. (5，﹣4)
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【題目】在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角，墻DF足夠長，墻DE長為12米，現用20米長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD，點C在墻DF上，點A在墻DE上，（籬笆只圍AB，BC兩邊）．
（1）如何才能圍成矩形花園的面積為75m2？
（2）能夠圍成面積為101m2的矩形花園嗎？如能說明圍法，如不能，說明理由．
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【題目】某班為了從甲、乙兩位同學中選出班長，進行了一次演講答辯與民主測評A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參與了民主測評。結果如下表所示：
規定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；
民主測評得分＝“好”票數×2分＋“較好”票數×1分＋“一般”票數×0分；
綜合得分＝演講答辯得分×(1-a)＋民主測評得分×a（0.5≤a≤0.8）；
(1) 當a=0.6時，甲的綜合得分是多少？
(2) 如果以綜合得分來確定班長，試問：甲、乙兩位同學哪一位當選為班長？并說明理由。
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