Question

【題目】如圖1，已知直線，線段在直線上，于點，且，是線段上異于兩端點的一點，過點的直線分別交、于點、（點、位于點的兩側），滿足，連接、．

（1）求證：；

（2）連結、，與相交于點，如圖2，

①當時，求證：；

②當時，設的面積為，的面積為，的面積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據平行和垂直得出∠ABP=∠CBE，再根據SAS證明即可；

（2）①延長AP交CE于點H，求出AP⊥CE，證出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四邊形BDCE，推出CE∥BD即可；②分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入求出即可．

（1）∵，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）①延長交于點，

∴，

∴∠APB=∠CEB，

∴，

∴，

∵，即為的中點，，

∴∽,

∴,

∴,

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，

∴;

②∵，

∴，

∴，

∵,

∴∽，

∴，

設△PBE的面積S△PBE=S，則△PCE的面積S△PCE滿足，即S2=（n-1）S，

即，

∵，

∴，

∵，

∴S1=（n-1）S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）S，,

∴．