Question

15．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E在AB上，且AE=DE．
（1）△BDE與△BCA相似嗎？為什么？
（2）已知AB=10，AC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠ADE=∠EAD，由角平分線的定義得到∠EAD=∠CAD，等量代換得到∠ADE=∠CAD，推出DE∥AC，即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，代入數據即可得到結論．

解答 解：（1）△BDE與△BCA相似，
理由：∵AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，
∵AD是角平分線，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA；

（2）∵△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∵AB=10，AC=6，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{10-DE}{10}$，
∴DE=$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質、平行線的性質以及勾股定理的運用，利用平行線分線段成比例定理得到AE和BE的數量關系是解題的關鍵．