Question

如圖，已知二次函數y=﹣x²+bx+c的圖象經過A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點．

（1）求該拋物線的解析式及對稱軸；

（2）當x為何值時，y＞0？

（3）在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C，D兩點（點C在對稱軸的左側），過點C，D作x軸的垂線，垂足分別為F，E．當矩形CDEF為正方形時，求C點的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據待定系數法求二次函數解析式，再用配方法或公式法求出對稱軸即可；

（2）求出二次函數與x軸交點坐標即可，再利用函數圖象得出x取值范圍；

（3）利用正方形的性質得出橫縱坐標之間的關系即可得出答案．

【解答】解：（1）∵二次函數y=﹣x²+bx+c的圖象經過A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點．

∴，

解得：，

∴y=﹣x²+2x+7，

=﹣（x²﹣2x）+7，

=﹣[（x²﹣2x+1）﹣1]+7，

=﹣（x﹣1）²+8，

∴對稱軸為：直線x=1．

 

（2）當y=0，

0=﹣（x﹣1）²+8，

∴x﹣1=±2，

x₁=1+2，x₂=1﹣2，

∴拋物線與x軸交點坐標為：（1﹣2，0），（1+2，0），

∴當1﹣2＜x＜1+2時，y＞0；

 

（3）當矩形CDEF為正方形時，

假設C點坐標為（x，﹣x²+2x+7），

∴D點坐標為（﹣x²+2x+7+x，﹣x²+2x+7），

即：（﹣x²+3x+7，﹣x²+2x+7），

∵對稱軸為：直線x=1，D到對稱軸距離等于C到對稱軸距離相等，

∴﹣x²+3x+7﹣1=﹣x+1，

解得：x₁=﹣1，x₂=5（不合題意舍去），

x=﹣1時，﹣x²+2x+7=4，

∴C點坐標為：（﹣1，4）．

【點評】此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及利用圖象觀察函數值和正方形性質等知識，根據題意得出C、D兩點坐標之間的關系是解決問題的關鍵．