Question

閱讀下列解題過程

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4)

( 5 + 4 )( 5 - 4)

=

5 - 4

( 5)2-( 4)2

=

5

-

4

=

5

-2.

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )( 6 - 5 )

=

6

-

5

．
請回答下列問題
（1）觀察上面解題過程，請直接寫出

1

n + n-1

的結(jié)果為

 

．
（2）利用上面所提供的解法，請化簡：

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…

1

98 + 99

+

1

99 + 100

的值．
（3）不計(jì)算近似值，試比較(

13

-

11

)與(

15

-

13

)的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由解題過程可以看出該解題過程運(yùn)用的是分母有理化運(yùn)算，有理化后分母為1，分子則為分母的有理化因式，由此可直接寫出

1

n + n+1

的值；
（2）中各項(xiàng)按規(guī)律化簡后相加可以消除互為相反數(shù)的項(xiàng)，沒有抵消的計(jì)算得到結(jié)果．
（3）利用倒數(shù)關(guān)系比較大小．

解答：解：（1）由上面的解題規(guī)律可直接寫出

1

n + n-1

=

n

-

n-1

．

（2）(

2

-1)+(

3

-

2

)+(

4

-

3

)+…+(

100

-

99

)=

100

-1=9．

（3）∵

1

13 - 11

=

( 13 + 11 )

( 13 - 11 )( 13 + 11 )

=

13 + 11

2

，
同理

1

15 - 13

=

15 + 13

2

．
∵

13 + 11

2

＜

15 + 13

2

，∴

1

13 - 11

＜

1

15 - 13

，
∴

13

-

11

＞

15

-

13

．

點(diǎn)評：本題是規(guī)律型的，由分母有理化得出規(guī)律，以及在多項(xiàng)式求和和比較大小中的應(yīng)用．