Question

（2012•黃岡）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M．
求證：AM⊥DF．

Answer 1

分析：根據DE=CF，可得出OE=OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，即得出了結論．

解答：證明：∵ABCD是正方形，
∴CO=DO，
又∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在RT△AOE和RT△DOF中，

AO=DO ∠AOD=∠DOF OE=OF

，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即可得AM⊥DF．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是通過全等的證明得出∠OAE=∠ODF，利用等角代換解題．