Question

（2012•黃岡）如圖，已知拋物線的方程C₁：y=-

1

m

（x+2）（x-m）（m＞0）與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側．
（1）若拋物線C₁過點M（2，2），求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；
（3）在（1）條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標；
（4）在第四象限內，拋物線C₁上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點（2，2）的坐標代入拋物線解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E點的坐標，進而求得△BCE的面積；
（3）根據軸對稱以及兩點之間線段最短的性質，可知點B、C關于對稱軸x=1對稱，連接EC與對稱軸的交點即為所求的H點，如答圖1所示；
（4）本問需分兩種情況進行討論：
①當△BEC∽△BCF時，如答圖2所示．此時可求得m=2

2

+2；
②當△BEC∽△FCB時，如答圖3所示．此時可以得到矛盾的等式，故此種情形不存在．

解答：解：（1）依題意，將M（2，2）代入拋物線解析式得：
2=-

1

m

（2+2）（2-m），解得m=4．

（2）令y=0，即-

1

4

（x+2）（x-4）=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0）
在C₁中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S_△BCE=

1

2

BC•OE=6．

（3）當m=4時，易得對稱軸為x=1，又點B、C關于x=1對稱．
如解答圖1，連接EC，交x=1于H點，此時BH+EH最小（最小值為線段CE的長度）．
設直線EC：y=kx+b，將E（0，2）、C（4，0）代入得：y=-

1

2

x+2，
當x=1時，y=

3

2

，∴H（1，

3

2

）．

（4）分兩種情形討論：
①當△BEC∽△BCF時，如解答圖2所示．
則

BE

BC

=

BC

BF

，
∴BC²=BE•BF．
由函數解析式可得：B（-2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x軸于點T，則∠BFT=∠TBF=45°，
∴BT=TF．
∴可令F（x，-x-2）（x＞0），又點F在拋物線上，
∴-x-2=-

1

m

（x+2）（x-m），
∵x+2＞0，
∵x＞0，
∴x=2m，F（2m，-2m-2）．
此時BF=

(2m+2)2+(-2m-2)2

=2

2

（m+1），BE=2

2

，BC=m+2，
又∵BC²=BE•BF，
∴（m+2）²=2

2

•2

2

（m+1），
∴m=2±2

2

，
∵m＞0，
∴m=2

2

+2．
②當△BEC∽△FCB時，如解答圖3所示．
則

BC

BF

=

EC

BC

，
∴BC²=EC•BF．
∵△BEC∽△FCB
∴∠CBF=∠ECO，
∵∠EOC=∠FTB=90°，
∴△BTF∽△COE，
∴

TF

BT

=

OE

OC

=

2

m

，
∴可令F（x，-

2

m

（x+2））（x＞0）
又∵點F在拋物線上，
∴-

2

m

（x+2）=-

1

m

（x+2）（x-m），
∵x＞0，
∴x+2＞0，
∴x=m+2，
∴F（m+2，-

2

m

（m+4）），EC=

m2+4

，BC=m+2，
又BC²=EC•BF，
∴（m+2）²=

m2+4

•

(m+2+2)2+ 4(m+4)2 m2

整理得：0=16，顯然不成立．
綜合①②得，在第四象限內，拋物線上存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似，m=2

2

+2．

點評：本題涉及二次函數的圖象與性質、相似三角形的判定與性質、軸對稱-最小路徑問題等重要知識點，難度較大．本題難點在于第（4）問，需要注意分兩種情況進行討論，避免漏解；而且在計算時注意利用題中條件化簡計算，避免運算出錯．