Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)在拋物線上．

（1）求直線的解析式；

（2）為直線下方拋物線上的一點(diǎn)，連接、．當(dāng)的面積最大時(shí)，在直線上取一點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，連接、．若時(shí)，求的值；

（3）將拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線，經(jīng)過原點(diǎn)．與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，能否成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能．，，，

【解析】

（1）求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）求出拋物線與軸交點(diǎn)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出E的坐標(biāo)，可得當(dāng)時(shí)，最大，因?yàn)?/span>關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，的垂直平分線交直線于點(diǎn)，過作軸的垂線，由勾股定理得，即可解決問題；

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對(duì)稱軸l于N．對(duì)稱軸l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出點(diǎn)P在∠MKN的角平分線上，只要求出直線KP1的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問題，同法可求P3，P4．

解：（1）∵當(dāng)時(shí)， ，

∴．

又∵在拋物線上，

∴

，

∴．

設(shè)的解析式為．

∴

解得：

∴的解析式為．

(2) ∵令，

∴．

解得：．

∴， ．

設(shè)，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，最大．

∴．

又∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，

∴的垂直平分線交直線于點(diǎn)，

∴過作軸的垂線，垂足為．

此時(shí)，，，．

在中，由勾股定理得：．

又∵直線與軸間的距離為1，

∴．

（3）能．，，

，