Question

【題目】如圖1，在直角坐標系中，已知點A（0，2）、點B（-2，0），過點B和線段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

（1）填空：點D的坐標為_________，點E的坐標為_______________.

（2）若拋物線經過A、D、E三點，求該拋物線的解析式.

（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E落在軸上時，正方形和拋物線均停止運動.

①在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為，求關于平移時間（秒）的函數關系式，并寫出相應自變量的取值范圍.

②運動停止時，求拋物線的頂點坐標.

Answer 1

【答案】（1）D的坐標為（-1，3），E的坐標為（-3，2）；

（2）拋物線的解析式為；

（3）①S與x的函數關系式為：

當0＜t≤時, S=5

當＜t≤1時，S=5t

當1＜t≤時，S=-5t2+15t

②拋物線的頂點坐標是（， ）.

【解析】（1）D（-1，3）、E（-3，2）（2分）

（2）拋物線經過（0，2）、（-1，3）、（-3，2），則

解得

∴

（3）①當點D運動到y軸上時，t=.

當0＜t≤時，如右圖

設D′C′交y軸于點F

∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2, 即=2

∵CC′= t,∴FC′=2t.

∴S△CC′F =CC′·FC′= t×t=5 t2

當點B運動到點C時，t=1.當＜t≤1時，如右圖

設D′E′交y軸于點G，過G作GH⊥B′C′于H.

在Rt△BOC中，BC=

∴GH= ,∴CH=GH=

∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-

∴S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

當點E運動到y軸上時，t=.

當1＜t≤時，如右圖所示

設D′E′、E′B′分別交y軸于點M、N

∵CC′=t，B′C′=,

∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-

∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t

∴E′M=E′N=(-t)

∴S△MNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

∴S五邊形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -S△MNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

綜上所述，S與x的函數關系式為：

當0＜t≤時, S=5

當＜t≤1時，S=5t

當1＜t≤時，S=-5t2+15t

②當點E運動到點E′時，運動停止.如下圖所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

∴

∵OB=2，B′E′=BC=

∴

∴CE′=

∴OE′=OC+CE′=1+=

∴E′（0，）

由點E（-3，2）運動到點E′（0， ）,可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位.

∵=

∴原拋物線頂點坐標為（， ）

∴運動停止時，拋物線的頂點坐標為（， ）