Question

16．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：
①PQ∥AE；②AD=BE；③DE=DP；④AP=BQ；⑤∠AOB=60°．
恒成立的結論有①②④⑤．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； 由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知①正確；根據∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知③錯誤；根據全等三角形的性質得到對應邊相等，然后根據線段的和差即可得到④正確；利用等邊三角形的性質，BC∥DE，再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．

解答 解：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，（故②正確）；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
在△CDP與△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{CD=CE}\\{∠PCQ=∠QCE}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故①正確）；
∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故③錯誤）；
∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故④正確）；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，利用旋轉不變性，找到不變量，是解題的關鍵．