Question

【題目】問題的提出：n個平面最多可以把空間分割成多少個部分？
問題的轉化：由n上面問題比較復雜，所以我們先來研究跟它類似的一個較簡單的問題：
n條直線最多可以把平面分割成多少個部分？
如圖1，很明顯，平面中畫出1條直線時，會得到1+1=2個部分；所以，1條直線最多可以把平面分割成2個部分；
如圖2，平面中畫出第2條直線時，新增的一條直線與已知的1條直線最多有1個交點，這個交點會把新增的這條直線分成2部分，從而多出2個部分，即總共會得到1+1+2=4個部分，所以，2條直線最多可以把平面分割成4個部分；
如圖3，平面中畫出第3條直線時，新增的一條直線與已知的2條直線最多有2個交點，這2個交點會把新增的這條直線分成3部分，從而多出3個部分，即總共會得到1+1+2+3=7個部分，所以，3條直線最多可以把平面分割成7個部分；
平面中畫出第4條直線時，新增的一條直線與已知的3條直線最多有3個交點，這3個交點會把新增的這條直線分成4部分，從而多出4個部分，即總共會得到1+1+2+3+4=11個部分，所以，4條直線最多可以把平面分割成11個部分；…

（1）請你仿照前面的推導過程，寫出“5條直線最多可以把平面分割成多少個部分”的推導過程（只寫推導過程，不畫圖）；
（2）根據遞推規律用n的代數式填空：n條直線最多可以把平面分割成個部分．
問題的解決：借助前面的研究，我們繼續開頭的問題；n個平面最多可以把空間分割成多少個部分？
首先，很明顯，空間中畫出1個平面時，會得到1+1=2個部分；所以，1個平面最多可以把空間分割成2個部分；
空間中有2個平面時，新增的一個平面與已知的1個平面最多有1條交線，這1條交線會把新增的這個平面最多分成2部分，從而多出2個部分，即總共會得到1+1+2=4個部分，所以，2個平面最多可以把空間分割成4個部分；
空間中有3個平面時，新增的一個平面與已知的2個平面最多有2條交線，這2條交線會把新增的這個平面最多分成4部分，從而多出4個部分，即總共會得到1+1+2+4=8個部分，所以，3個平面最多可以把空間分割成8個部分；
空間中有4個平面時，新增的一個平面與已知的3個平面最多有3條交線，這3條交線會把新增的這個平面最多分成7部分，從而多出7個部分，即總共會得到1+1+2+4+7=15個部分，所以，4個平面最多可以把空間分割成15個部分；
空間中有5個平面時，新增的一個平面與已知的4個平面最多有4條交線，這4條交線會把新增的這個平面最多分成11部分，而從多出11個部分，即總共會得到1+1+2+4+7+11=26個部分，所以，5個平面最多可以把空間分割成26個部分；…
（3）請你仿照前面的推導過程，寫出“6個平面最多可以把空間分割成多少個部分？”的推導過程（只寫推導過程，不畫圖）；
（4）根據遞推規律填寫結果：10個平面最多可以把空間分割成個部分；
（5）設n個平面最多可以把空間分割成Sn個部分，設n﹣1個平面最多可以把空間分割成Sn﹣1個部分，前面的遞推規律可以用Sn﹣1和n的代數式表示Sn；這個等式是Sn= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據規律得，平面中畫出第5條直線時，新增的一條直線與已知的4條直線最多有4個交點，這4個交點會把新增的這條直線分成5部分，從而多出5個部分，即總共會得到1+1+2+3+4+5=16個部分，所以，5條直線最多可以把平面分割成16個部分
（2）1+
（3）解：根據規律得，空間中有6個平面時，新增的一個平面與已知的5個平面最多有5條交線，這5條交線會把新增的這個平面最多分成16部分，而從多出16個部分，即總共會得到1+1+2+4+7+11+16=42個部分，所以，6個平面最多可以把空間分割成42個部分
（4）176
（5）Sn﹣1+[1+ ]
【解析】解：（2）根據規律得，n條直線最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+ ，

所以答案是1+ ；

⑷根據規律得，空間中有10個平面時，新增的一個平面與已知的9個平面最多有9條交線，這9條交線會把新增的這個平面最多分成37部分，而從多出37個部分，即總共會得到1+1+2+4+7+11+16+…+37=176個部分，所以，10個平面最多可以把空間分割成176個部分；

所以答案是：176；

⑸根據規律得，空間中有n個平面時，新增的一個平面與已知的（n﹣1）個平面最多有（n﹣1）條交線，這（n﹣1）條交線會把新增的這個平面最多分成[1+ ]部分，

∴Sn=Sn﹣1+[1+ ]

所以答案是：Sn﹣1+[1+ ]．