Question

【題目】在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于E，若AE=1，線段BE的長為____________．

Answer 1

【答案】.

【解析】由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB，所以DE=AE=1．根據勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°，再根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可證得BC=CF，然后證得△CBG≌△CFD，再證得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，從而求得CE=AE=1，在△CBE中根據勾股定理求得BE的長．

∵∠CAB=∠CAD=22.5°，

∴∠DAE=45°，

又∵∠AED=90°，

∴DE=AE=1，

∴AD=．

延長AD，過點C作CF垂直AD于F，

由∠CAB=∠CAD可知AC為∠BAD的角平分線，

∴CB=CF，

把三角形CDF繞點C旋轉到CF與CB重合，則DF與GB重合，如圖：

．

∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；

∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；

∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE

∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，

在△DCE與△GCE中

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠3=∠4=45°，

∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，

∴∠ACE=∠CAB=22.5°，

∴CE=AE=1，

在Rt△CBE中，BE2+BC2=CE2，

即BE=．

故答案為：.