Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，BC．OE∥BC交AC于E，過點A作⊙O的切線交OE的延長線于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點F．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接寫出線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OC，根據平行線的性質得到∠OEA＝∠ACB，由圓周角定理得到∠OEA＝∠ACB＝90°，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，證明△ADO≌△CDO（SSS），得出∠DAO＝∠OCD，根據切線的性質得到∠DAO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到結論；

（2）證明△BOC是等邊三角形，得出∠BOC＝60°，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OC，

∵OE∥BC，

∴∠OEA＝∠ACB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠OEA＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥AC，由垂徑定理得OD垂直平分AC，

∴DA＝DC，

∵DO＝DO，OC＝OA，

∴△ADO≌△CDO（SSS），

∴∠DAO＝∠OCD，

∵DA為⊙O的切線，OA是半徑，

∴∠DAO＝90°，

∴∠OCD＝∠DAO＝90°，

即OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半徑，

∴DC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

又∵OB＝OC，

∴△BOC是等邊三角形，

∴∠FOC＝60°，

又∵AB＝4，

∴OB＝OC＝OA＝2，

在Rt△COF中，tan∠FOC＝，

∴CF＝2．