Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是邊BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，且AE=AD，連接CE．

（1）如圖，求證：BD=CE；

（2）若AF平分∠DAE交直線BC于點F．

①如圖，當點F在線段BC上，猜想線段BD，DF，FC之間的數量關系，并證明；

②若BD=6，CF=8，直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①BD2+FC2＝DF2，證明見解析；②6或

【解析】

（1）根據SAS，只要證明∠1=∠2即可求得△ABD≌△ACE，從而解決問題；

（2）①連接FE，想辦法證明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解決問題；

②過點A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想辦法求出AG、DG即可解決問題．

解：（1）∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，

又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

（2）結論：BD2+FC2＝DF2．理由如下：

連接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠3＝45°

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE

∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，

∴CE2+CF2＝EF2，

∴BD2+FC2＝EF2，

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

在△DAF和△EAF中，

∴△DAF≌△EAF

∴DF＝EF

∴BD2+FC2＝DF2．

（3）如圖，過點A作AG⊥BC于G，

由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100．

∴DF=10，

當點F在線段BC上時，BC=BD+DF+FC=6+10+8=24，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=AG=BC=12，

∴DG=BG-BD=12-6=6，

∴在Rt△ADG中，AD=

當點F在線段BC的延長線上時，BC=BD+DF-FC=6+10-8=8，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=AG=BC=4，

∴DG= BD- BG=6-4=2，

∴在Rt△ADG中，AD=

綜上，AD的長為或