Question

【題目】如圖(1)，將正方形ABCD與正方形GECF的頂點C重合，當正方形GECF的頂點G在正方形ABCD的對角線AC上時，的值為______.

如圖(2)，將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉a角(0°＜a＜45°)，猜測AG與BE之間的數量關系，并說明理由.

如圖(3)，將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉a角(45°＜a＜90°)使得B、E、G三點在一條直線上，此時tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面積.

Answer 1

【答案】(1)；(2)＝，理由見解析；(3)3.

【解析】

(1)根據AC＝BC，CG＝EC，可得AG＝BE，即＝.

(2)根據△BCE∽△AGC，利用對應邊之間的比例關系就可以得到AG和BE的比值.

(3)利用相似三角形的性質證明∠AGC＝90°，求出BE，EC即可解決問題.

(1)如圖1中，

∵四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG=90°，∠ECG=45°，=，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°,∠BCA=45°，

∴A，G，C三點在一條直線上，

∵∠CEG=90°，∠B=90°，

∴GE∥AB，

∴，

∴＝，

故答案為：.

(2)結論：＝.

如圖②中，所示，連接CG.

∵∠ECG=∠BCA=45°，

∴∠BCE=∠ACG=45°∠ACE，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

CG=CE，CA=CB，

∴，

∴△ACG∽△BCE，

∴＝，

∴＝.

(3)如圖③中，連接CG，、

∵∠ACG＝∠BCE，＝，

∴△ACG∽△BCE，

∴∠GAC＝∠EBC，∠AGC＝∠BEC＝90°，

∵AG＝6，

∴BE＝3，

∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，

∴∠EBC＝30°，

在Rt△BEC中，tan∠EBC＝，

∴EC＝，

∴S△BEC＝BEEC＝×3×＝3.