Question

【題目】（1）如圖1，直線a∥b∥c∥d，且a與b，c與d之間的距離均為1，b與c之間的距離為2，現將正方形ABCD如圖放置，使其四個頂點分別在四條直線上，求正方形的邊長；
（2）在（1）的條件下，探究：將正方形ABCD改為菱形ABCD，如圖2，當∠DCB=120°時，求菱形的邊長．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖1，過B，D分別作直線d的垂線，垂足分別為P，Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，
∴∠PCB+∠QCD=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠QCD，
在△CBP和△CDQ中

∴△CBP≌△CDQ（AAS），
∴CP=DQ=1，
∵BP=3，
∴；
（2）如圖2，過B，D分別作直線d的垂線，垂足分別為M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直線d上，
∵∠DCB=120°，
∴∠PCB+∠DCQ=60°，
∵∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在△BPC和△CQD中

∴△BPC≌△DQC，
∴PC=DQ，PB=CQ，
∵∠BPC=∠DQC=120°，
∴∠BPM=∠DQN=60°，
∴sin∠BPM=，sin∠DQN=，
∵BM=3，DN=1，
∴PB=2，DQ=，
∴PC=DQ=，
∵∠BPM=60°，
∴∠PBM=30°，
∵在RT△PBM中，PM=PB=，
∴MC=PC+PM=，
∴在RT△PBM中，BC===．

【解析】（1）如圖1，過B，D分別作直線d的垂線，垂足分別為P，Q，通過證得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根據勾股定理即可求得；
（2）如圖2，過B，D分別作直線d的垂線，垂足分別為M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直線d上，通過證得△BPC≌△DQC證得PC=DQ，通過解直角三角形求得PM，DQ，進而求得MC，然后根據勾股定理即可求得．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．