Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，

如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB= ，

∴AD=BD=1，即此時圓的直徑為1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠HOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH= sin60°= ，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH= ，

即線段EF長度的最小值為 ．

所以答案是 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂線段最短的相關知識，掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用，以及對垂徑定理的推論的理解，了解推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．