Question

如圖（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中線BE、CD相交于點O，點F、G分別是OB、OC的中點．
（1）求證：四邊形DFGE是平行四邊形；
（2）如果把Rt△ABC變為任意△ABC，如圖（2），通過你的觀察，第（1）問的結論是否仍然成立（不用證明）；
（3）在圖（2）中，試想：如果拖動點A，通過你的觀察和探究，在什么條件下四邊形DFGE是矩形，并給出證明；
（4）在第（3）問中，試想：如果拖動點A，是否存在四邊形DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫出相應的圖形（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）（2）由于DE是△ABC的中位線，有DE平行于BC，且等于BC的一半，同理FG是△OBC的中位線，有FG平行于BC，且等于BC的一半，故有DE與FG平行且相等，有四邊形DFGE是平行四邊形．
（3）當AB=AC時，四邊形DFGE是矩形，可由等腰三角形的三線合一的性質得到DF⊥FG．

解答：證明：（1）∵BE、CD是中線，
∴D、E是兩邊的中點．
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC．（1分）
又∵點F、G分別是OB、OC的中點，
∴FG∥BC且FG=

1

2

BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四邊形DFGE是平行四邊形．（1分）

解：（2）成立．（1分）

（3）如圖，當AB=AC時，四邊形DFGE是矩形（1分）
作AH⊥BC，如圖所示，
∵AB=AC，AH⊥BC
∴AH是BC邊的中線，
又∵BE、CD是中線，
∴AH必過點O．（三角形三條中線相交于一點）（1分）
∵DF為△ABO的中位線，
∴DF∥AO，即DF∥AH，
又∵FG為△BCO的中位線，
∴FG∥BC，
又∵FG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥FG．
∴∠DFG=90度．
又∵四邊形DFGE是平行四邊形，
∴四邊形DFGE是矩形．（1分）

（4）解：拖動點A，存在四邊形DFGE是正方形或菱形，如圖所示．（1分）

點評：本題利用了三角形的中位線的性質，等腰三角形的性質求解．同時此題是一道幾何結論動態題，可以大大激發學生的思考興趣，拓展學生的思維空間，培養學生求異、求變的創新精神．