Question

如圖，△ABC中，∠A=90°以直角邊AB為邊，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是斜邊BC的高，延長FA使AG=BC．
求證：BG=CD．

Answer 1

分析：如圖，利用正方形的性質、直角三角形的性質以及對頂角，通過全等三角形的判定定理SAS證得△DBC≌△BAG，則該全等三角形的對應邊相等，即BG=CD．

解答：證明：如圖，∵在直角△BAC中，∠BAC=90°，AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠2=∠3（同角的余角）相等；
又∵四邊形ABDE是正方形，∠1=∠2，
則∠BDA=∠EAB=90°，DB=AB，∠1=∠3，
∴∠DBC=∠DBA+∠3=∠BAE+∠1=∠BAG，即∠DBA=∠BAG，
∴在△DBC與△BAG中，

DB=BA ∠DBC=∠BAG BC=AG

，
∴△DBC≌△BAG（SAS），
∴BG=CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．