Question

【題目】閱讀并解決問(wèn)題:歸納

人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)，如果早晨天空中有棉絮狀的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語(yǔ).在數(shù)學(xué)里，我們也常用這樣的方法探求規(guī)律，例如:三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，如果在它的內(nèi)部再畫(huà)n個(gè)點(diǎn)，并以(n+3)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),把三角形剪成若干個(gè)小三角形，那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形? .為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以從n=1、n=2、nr=3 等具體的、簡(jiǎn)單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律.

(1)完成表格信息：_______、_________;

(2)通過(guò)觀察、比較,可以發(fā)現(xiàn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多可以剪得的三角形增加_________個(gè).于是，我們可以猜想：當(dāng)三角形內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得____________個(gè)三角形.像這樣通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的觀察、分析，從特殊到-般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納.在日常生活中，人們互相交談時(shí)，常常有人在列舉了一些現(xiàn)象后，說(shuō)“這(即列舉的現(xiàn)象)說(shuō)明....其實(shí)這就是運(yùn)用了歸納的方法.用歸納的方法得出的結(jié)論不一定正確，是否正確需要加以證實(shí).

(3)請(qǐng)你借助表格嘗試用歸納的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以證實(shí).

Answer 1

【答案】（1）5，7；（2）2，2n+1；（3）S=n2，見(jiàn)解析

【解析】

（1）由圖形規(guī)律可得，答案為5，7；

（2）因?yàn)?/span>5-3=7-5=2，所以三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多可以剪得的三角形增加2個(gè)；∵三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)3=2×1+1，因?yàn)槿�角形�?nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)5=2×2+1，三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，7最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)7=2×3+1，所以三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)2n+1；

（3）用倒序相加法證明即可．

（1）把表格補(bǔ)充完整如下：

故答案為：5，7；

（2）∵5-3=7-5=2，

∴三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多可以剪得的三角形增加2個(gè)；

∵三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)3=2×1+1，

三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)5=2×2+1，

三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，7最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)7=2×3+1，

……

∴三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)為2n+1．

故答案為2，（2n+1）；

（3）

證明：∵S=1+3+5+7+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1），

∴S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+7+5+3+1，

∴S+S=2nn=2n2，

2S=2n2

S=n2