Question

【題目】如圖，等邊△AOB中點O是原點，點A在y軸上，點B的坐標是（2 ，2），小明做一個數學實驗，在x軸上取一動點C，以AC為一邊畫出等邊△ACP，移動點C時，探究點P的位置變化情況．

（1）如圖，小明將點C移至x軸負半軸，在AC的右側畫出等邊△ACP，并使得頂點P在第三象限時，連接BP，求證：△AOC≌△ABP；
（2）小明在x軸上移動點C，并在AC的右側畫出等邊△ACP時，發現點P在某函數圖象上，請求出點P所在函數圖象的解析式．
（3）小明在x軸上移動點C點時，若在AC的左側畫出等邊△ACP，點P會不會在某函數圖象上？若會在某函數圖象上，請直接寫出該函數圖象的解析式，若不在某函數圖象上，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．

∴∠CAO=∠PAB．

在△AOC與△PAB中，

，

∴△AOC≌△ABP

（2）

解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴點P在過點A且與AB垂直的直線上，

在等邊△AOB中，B（2 ，2），

∴AB=4，

當點C移動，使得P在y軸上時，

∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，

∴PA= =8，

∴P（0，﹣4），

設直線PB的解析式為y=kx﹣4，把B（2 ，2）代入得到k= ，

∴點P所在函數圖象的解析式為y= x﹣4

（3）

會在函數的圖象上，如圖作B的對稱點B′，連接AB′，OB′．

由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=﹣ x﹣4．

∴該函數圖象的解析式為y=﹣ x﹣4

【解析】（1）利用等邊三角形的性質，根據SAS根據解決問題．（2）首先證明點P在過點A且與AB垂直的直線上，求出特殊點（P在y軸上的點），利用待定系數法即可解決問題．（3）如圖作B的對稱點B′，連接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=﹣ x﹣4．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°即可以解答此題．