Question

如圖，已知點C為線段AE上一點，AE=8cm，△ABC和△CDE為AE同側的兩個等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN．
（1）求證：AD=BE；
（2）求證：MN∥AE；
（3）若點C在AE上運動（點C不與A、E重合），當點C運動到什么位置時，線段MN的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，可以得出∠ACD=∠BCE，就可以△ACD≌△BCE，從而可以得出結論．
（2）由△ACD≌△BCE可以得出∠EAD=∠CBE，有BC=AC，由平角的定義可以得出∠BCD=60°，就有∠ACB=∠BCD，可以得出△BCN≌△ACM，就可以得出CM=CN，從而得到△CMN為等邊三角形，就有∠CMN=60°，得出∠CMN=∠ACB，就得出MN∥AE．
（3）由△CMN為等邊三角形，就有MN=CN，由條件可以得出CN∥AB，設CE=x，就可以用相似三角形的性質把CN用含x的函數式表示出來，從而求出其C點的位置進和最大值．

解答：解：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中
∵

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=EC

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠EAD=∠CBE．
∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，且∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠BCD．
在△BCN和△ACM中
∵

∠CBE=∠EAD BC=AC ∠BCD=∠ACB

．
∴△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，且∠BCD=60°，
∴△CMN是等邊三角形．
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACB，
∴MN∥AE．
（3）∵△CMN是等邊三角形，
∴CN=MN．
∵，∠ACB=∠DCE=60°，
∴CD∥AB，
∴△CEN∽△AEB，
∴

CN

AB

=

CE

AE

．
設CE為x，則有AC=AB=8-x．
∴

CN

8-x

=

x

8

，
∴NC=x-

1

8

x²．
∴NC=-

1

8

（x-4）²+2，
∴當x=4時，NC有最大值是2．
即點C在AE的中點時，線段MN最大，最大值是2．

點評：本題考查了平行線分線段成比例的運用，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及二次函數的最值的運用．在解答的過程中書寫全等三角形時對應頂點的字母要寫在對應的位置上，靈活運用頂點式求最值．