Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C．過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉180°得到△A'DP．設點P的運動時間為x(s)．

(1)求點A'落在邊BC上時x的值．

(2)設△A'DP和△ABC重疊部分圖形周長為y(cm)，求y與x之間的函數關系式．

(3)如圖②，另有一動點Q與點P同時出發，在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C．過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉180°得到△B'EQ．連結A′B′．當直線A'B'與△ABC的邊垂直或平行時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】(1)x=；(2)y=12x(0＜x≤)，y=-x+12(＜x≤)；(3)x=或或或.

【解析】

(1)利用銳角三角函數的意義直接求出；

(2)由(1)計算可得，分兩種情況用銳角三角函數的意義求解：①當0＜x≤時，y=12x，當＜x≤時，y=12-x；

(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．

解：(1)如圖1，

∵∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，

∴AB=10(cm)，

∴cosA=，sinA=，tanA=，

設AP=5x，

∴PA′=AD=APcos∠A=×5x=4x，CP=8-5x，

∴cos∠CPA′=cos∠A===，

∴x=，

(2)①當0＜x≤，如圖2，

∴PA′=AD=APcosA=3x，

∴A′D=AP=5x，

∴y=4x+3x+5x=12x，

②當＜x≤時，如圖3

∴PE===，

DF=DB×cosA=8-x，

∴y=3x++8-x+x-6=12-x，

即：當0＜x≤時，y=12x，

當＜x≤時，y=-x+12；

(3)同(1)一樣有，sinB=，cosB=，tanB=，

①當A′B′⊥AB時，如圖6，

∴DH=PA'=AD=4x，HE=B′Q=EB=3x，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10，

∴x=，

∴A′B′=QE-PD=4x-3x=x=．

②當A′B′⊥BC時，如圖7，

∴B′E=5x，DE=10-7x，

∴cosB==，

∴x=．

③當A′B′⊥AC時，如圖8，

DA'=PA=5x，DE=×5x=x，

∴4x+x+3x=10，

∴x=．

④當Q，P都到達C后，如圖9，

∵A′B′∥AB且AB=A′B′=10，

此時x=s．