Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，以CM為直徑作圓O交AC于點(diǎn)N，延長MN至D，使ND＝MN，連接AD、CD，CD交圓O于點(diǎn)E．

(1)判斷四邊形AMCD的形狀，并說明理由；

(2)求證：ND＝NE；

(3)若DE＝2，EC＝3，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)四邊形AMCD是菱形，理由見解析；(2)證明見解析；(3)BC＝2．

【解析】

(1)證明四邊形AMCD的對(duì)角線互相平分，且∠CNM＝90°，可得四邊形AMCD為菱形；

(2)可證得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可證出∠CDM＝∠CMN，則∠DEN＝∠CDM，結(jié)論得證；

(3)證出△MDC∽△EDN，由比例線段可求出ND長，再求MN的長，則BC可求出．

(1)四邊形AMCD是菱形，理由如下：

∵M是Rt△ABC中AB的中點(diǎn)，

∴CM＝AM，

∵CM為⊙O的直徑，

∴∠CNM＝90°，

∴MD⊥AC，

∴AN＝CN，

∵ND＝MN，

∴四邊形AMCD是菱形；

(2)∵四邊形CENM為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠CEN+∠CMN＝180°，

∵∠CEN+∠DEN＝180°，

∴∠CMN＝∠DEN，

∵四邊形AMCD是菱形，

∴CD＝CM，

∴∠CDM＝∠CMN，

∴∠DEN＝∠CDM，

∴ND＝NE；

(3)∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，

∴△MDC∽△EDN，

∴，

設(shè)DN＝x，則MD＝2x，由此得，

解得：x＝或x＝﹣(不合題意，舍去)，

∴，

∵MN為△ABC的中位線，

∴BC＝2MN，

∴BC＝2．