Question

（2013•深圳）如圖1，過點A（0，4）的圓的圓心坐標為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點，且BC⊥AC，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經過C、B兩點，與x軸的另一交點為D．
（1）點B的坐標為（

6

，

2

），拋物線的表達式為

y=-

1

2

x²+

9

2

x-7

；
（2）如圖2，求證：BD∥AC；
（3）如圖3，點Q為線段BC上一點，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點P，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）如答圖1，作輔助線，證明△AOC≌△CEB，由此得到點B的坐標；再由點C、B的坐標，利用待定系數法求出拋物線的表達式；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△BCD三邊的長度，再利用勾股定理的逆定理判定其為直角三角形，從而問題得證；
（3）如答圖3，利用勾股定理依次求出CQ、CF、AF的長度，然后利用垂徑定理AP=2AF求出AP的長度．

解答：（1）解：如答圖1所示，過點B作BE⊥x軸于點E．

∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC與△CEB中，

∠OAC=∠BCE AC=BC ∠ACO=∠CBE

∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B點坐標為（6，2）．
∵點C（2，0），B（6，2）在拋物線y=-

1

2

x²+bx+c上，
∴

- 1 2 ×22+2b+c=0 - 1 2 ×62+6b+c=2

，
解得b=

9

2

，c=-7．
∴拋物線的表達式為：y=-

1

2

x²+

9

2

x-7．

（2）證明：在拋物線表達式y=-

1

2

x²+

9

2

x-7中，令y=0，即-

1

2

x²+

9

2

x-7=0，
解得x=2或x=7，∴D（7，0）．
如答圖2所示，過點B作BE⊥x軸于點E，則DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD=

BE2+DE2

=

22+12

=

5

；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=

BE2+CE2

=

22+42

=

20

．
在△BCD中，BD=

5

，BC=

20

，CD=5，
∵BD²+BC²=CD²
∴△BCD為直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∴AC∥BD．

（3）解：如答圖3所示：
由（2）知AC=BC=

20

，又AQ=5，
則在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ=

AQ2-AC2

=

52-( 20 )2

=

5

．

過點C作CF⊥PQ于點F，
∵S_△ACQ=

1

2

AC•CQ=

1

2

AQ•CF，
∴CF=

AC•CQ

AQ

=

20 • 5

5

=2．
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF=

AC2-CF2

=

( 20 )2-22

=4．
由垂徑定理可知，AP=2AF，
∴AP=8．

點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、全等三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、垂徑定理等知識點．本題設計考點清晰，層次合理：第（1）問主要考查全等三角形和待定系數法，第（2）問主要考查勾股定理及其逆定理，第（3）問主要考查垂徑定理與勾股定理．