Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O切BC于點D，交AC于點E，且AD=BD．
（1）求證：DE∥AB；
（2）如圖2，連接OC，求cos∠ACO的值．

Answer 1

【答案】證明：（1）連結OD、OE，如圖1，

∵BC為切線，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD=BD，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴△OAE為等邊三角形，
∴AE=OE，
∴AE=OD，
∵AE∥OD，
∴四邊形AEDO為平行四邊形，
∴DE∥AB；
（2）解：作OH⊥AE于H，如圖2，

則AH=HE，
設⊙O的半徑為r，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=60°，
∴AH=OA=r，OH=AH=r，
易得四邊形ODCH為矩形，
∴CH=OD=r，
在Rt△OCH中，OC= ，
∴cos∠HCO= ，
即cos∠ACO=，
【解析】（1）連結OD、OE，如圖1，根據切線性質得OD⊥BC，則OD∥AC，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，則∠1=∠2，再利用AD=BD得到∠1=∠B，所以∠1=∠2=∠B，然后根據三角形內角和可計算出∠1=∠2=∠B=30°，于是可判斷△OAE為等邊三角形，得到AE=OE，再判斷四邊形AEDO為平行四邊形，從而得到DE∥AB；
（2）作OH⊥AE于H，如圖2，則AH=HE，設⊙O的半徑為r，在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OH=AH=r，易得四邊形ODCH為矩形，則CH=OD=r，再利用勾股定理計算出OC=r，然后根據余弦的定義求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．